Faldloven og Eksponentiel regression

Som skrevet før falder en ting hurtigere og hurtigere.
Hvis vi indsætter punkter for et fald i et koordinatsystem, vil vi få nogle punkter som passer på potens regression.
Hvis vi kigger på det her sildeben kan vi se x værdierne som er tiden og y værdien som er faldhøjden:






Punkterne kan vi indsætte i et koordinatsystem og lave potens regression og så får vi denne:

Vi kan se vores formel som som har et tal ophævet i potens.
Vi kan også se vores R2 værdi som er 1, hvilket vil sige punkterne er perfekt for potens regressionen.

Noget andet man kan med de her punkter og regressionen er at indsætte dem i en anden form for koordinatsystem og få en ret linje.  Det er vist i videoen herunder:

Galileo Galileis Faldlov

Galileo Galilei som vi skrev om i forrige indlæg er en meget kendt mand for både hans karriere som astronom men specielt også fordi han har opstillet en faldlov, som stadig ikke er i brug trods den er omkring 400 år gammel. Hans teori om det frie fald skulle modbevise Aristoteles teori om at størst falder hurtigst. På det grundlag gik han i gang med undersøgelser og beregninger som til sidst endte med denne formel:

Her er s faldlængden og t er faldtiden. Det vil sige at hvis en slippes tabes og tiden måles, kan man ud fra denne formel finde ud af faldlængden. g er tyndeaccelerationen som er 9,8 m/s²

Denne formel kan omsættes til en mere letlæselig formel, men nogle værdier som vi har lettere ved at regne med:

Der er sket det at tyndeaccelerationen er blevet ganget med 0,5 og det giver så 4,9. Vi har byttet s ud med y og t ud med x, fordi det er nogle variable vi oftere bruger. De dækker dog stadig over de samme betydninger. 

Galileo Galilei

Hvem er Galileo Galilei?

Galileo Galilei er født i Pisa d. 15. februar 1564 og døde d. 8. januar 1642


Galileo Galilei var en italiensk filosof, fysiker og astronom. Galilei studerede medicin på universitetet i Pisa, og blev senere professor i Matematik. Galileo er manden bag faldloven og han opdagede også månens kratere og Jupiters måner.


I 1610 sad Galileo i sit observationstårn med et hjemmelavet teleskop, hvor han pludselig så tre punkter på himlen i en lige linje, som bevægede sig forkert. Han troede at det var stjerner, men senere fandt han flere af disse prikker og han konkluderede at det var en slags planeter, der kredsede omkring Jupiter – måner. Derfor blev Jupiters fire største og mest kendte måner opkaldt efter ham som ”De galileiske måner”


Galileo Galilei kom med store bidrag til emner som bevægelse(lov om legemers fald). Hans teori om det heliocentriske solsystem skabte en stor konflikt med kirken og i 1633 blev han tvunget til at opgive denne overbevisning og han kom i fængsel i Firenze for det.

Beregning med sinus og cosinus

Vi har lavet en video med brug af Sinus og Cosinus, tre forskellige opgaver, som viser brugen af sinus og cosinus og lidt om noget kaldet størrelses faktoren.

Videoen ses nedenunder:

Opgaveberegning med SIN, COS, TAN – Grøn

På billede ser du enhedscirkelen. (vær opmærksom på at billedet er spejlvendt)
Et tværsnit af jorden er blevet lagt ind i et koordinatsystemet i enhedscirkelen. Jordens centrum ligger i origo. X-aksen svarer til jordens diameter ved ækvator. Y-aksen svarer til afstanden mellem nordpolen og sydpolen. I punktet B ligger Danmark.

Her ser du en skitse af trekanten, med de sidelængder og vinkler som vi kender.

Vinkel B = 56

Vinkel C = 90

Siden b = 5,5

Nu skal vi finde vinkel A i trekanten.

Vi ved at vinkelsummen i alle trekanter = 180 grader

Derfor kan vi nemt regne vinkel A ud, ved at sige 56-90(vinkel B-vinkel C)

Det giver 34. Altså er vinkel A = 34 grader

Vi skal nu finde siden a (altså siden mellem vinkel B og vinkel C)

Vi kan vælge mellem disse 3 formler til at beregne siden:

Formlen som hedder: TAN(V) er den rigtige at bruge fordi vi kender vinkel B(56 grader) og siden b(5,5) 

Vi er nu klar til at finde siden a!Dette tastes ind på lommeregneren:

tan(56)/5,5

Siden a = 10,18

Sinus, Cosinus, Tangens

Trigonometri formler til beregning af sidelængder og vinkler:

De gentagende store bogstaver der står i parentes, det er vinkler, og de små bogstaver der skal deles med hinanden er sidelængder. 

Man kan godt være i tvivl om hvilken formel man skal bruge, men man ved at man har fat i den rigtige formel når man kender to faktorer og har én ubekendt, et eksempel er: Hvis du kigger på formlen 

Du kender vinkel A og sidelængden a men c er ubekendt, så ved du at det er den rigtige formel du har fat i.

a og b er kateter, og c er hypotenusen.

For at vide hvilken katete der er snak om hedder de to forskellige ting. Der er den modstående katete og den hosliggende katete.

Hvis man f.eks. skal finde vinkel A så er a den modstående katete, og b er så den hosliggende fordi b ligger ”hos” vinklen A. Omvendt hvis man skal finde vinkel B så er b den modstående katete, og a er den hosliggende, og den længste linje som i tilfældet her er c er hypotenusen.

De seks overnævnte formler kan kortes ned til tre formler, med de informationer der nu er givet. De kommer her:

Ud fra de oplysninger der blev givet før, kan man nu bruge de ovenstående formler, fordi man ved hvad de forskellige ting gemmer over. På længere sigt er det smartere at bruge disse formler fordi man godt kan møde opgaver hvor dem der har lavet opgaverne ikke har valgt at kalde sidelængderne for; a,b,c men derimod; s,y,å og så bliver man ofte forvirret, men med disse formler er det egentlig lige meget hvilke bogstaver de er blevet pålagt.

Et eksempel:

Her kunne der være en opgave der hed sig at man skulle finde vinkel A så kigger man på de tre formler og vælger i tilfældet her så formlen:

Det er den formel der skal bruges i tilfældet her og det er fordi at vi kender den modstående katete til vinklen som er 4, og den hosliggende katete som er 6, så følger man ellers bare formlen og så har man resultatet på hvad vinkel A er.

Formlerne er meget fleksible, det vil sige at man kan lave om på dem. F.eks. kan man bruge dem til at finde en katete, eller til at finde hypotenusen. 

Enhedscirklen

Vi tager en drejning fra en dygtig astronom til noget matematik!

En ting der er god at have kendskab til indenfor geometriens og trigonometriens verden er Enhedscirklen: 

Enhedscirklens radius er 1, og den har centrum i origo som er  koordinaterne (0,0)

Når man kender til trigonometri kan enhedscirklen bruges til at bekræfte sinus og cosinus’ resultater som lommeregneren giver. Y aksen er sinus dvs. Sin(v) er y koordinatet, og cosinus er så x aksen så cos(v)  er x koordinatet. Det lille v er retningspunktet med andre ord så er det skæringen mellem radius og et punkt i cirklen.

For at finde en vinkel i enhedscirklen skal man se på den vinkel der forekommer mellem x aksen i positiv retning, og radius (mod uret fordi enhedscirklens omløbsretning er mod uret)

Johannes Keplers 3 love.

Johannes kepler fremsatte 3 love som er baseret hovedsagelig på Tycho Brahes observationer af Mars. Lovene beskriver hvordan planeterne i Solsystemet bevæger sig i deres baner omkring Solen.

1. Alle planeter følger baner med facon som en ellipse, med Solen i det ene af ellipsens to brændpunkter.
Keplers første lov siger, at et lukket kredsløb altid har form som en ellipse. Solen er altid i ellipsens ene brændpunkt, men der er ingenting i det andet brændpunkt. En cirkel er en ganske særlig form for ellipse, hvor begge akser er lige lange, og hvor ellipsens to brændpunkter er sammenfaldende i cirklens centrum.

2.Indenfor to vilkårlige, men lige lange tidsrum, vil linjen mellem Solens og en planets centrummer altid passere et konstant areal.

Hvis man forbinder Solen og planeten med en linje, så "overstryger" linjen et bestemt areal i en vis tidsperiode. Loven siger at dette areal altid er det samme, så længe tidsperioden er den samme.

3. Hvis en planet med omløbstiden t følger en ellipseformet bane, hvis halve storakse er a, så vil t² være ligefremt proportional med a³.

Man kan sige at hvis et helt omløb omkring Solen varer T sekunder, og kredsløbets halve storakse er a meter lang, så er T² = k a³, hvor k er en konstant.

Denne tegning viser de 3 love visuelt:

Keplers Verdensbillede

Johannes Kepler troede på det heliocentriske verdensbillede, hvilket vil sige, han troede på at solen ligger i midten og udenom kredser de andre planeter. Han holdt fast i, at grunden til dette var at solen var kilden til livet og på den måde var den vigtig at have i midten. I Keplers tid troede mange på at jorden var i midten og udenom kredsede solen og derefter planterne på epicykler, som skulle skabe nogle cirkulære bevægelsesruter om jorden. Bagved skulle der være et stjernetæppe, hvor stjernerne sad fast uden at bevæge sig. Grunden til at menneskene på den tid troede det var at de på himlen kunne observere at planterne bevægede sig i en sløjebevægelse eller en retrograd bevægelse, som den også kaldes.

I kan se på appletten her, hvordan det geocentriske
verdensbillede ser ud når det kører – det verdensbillede de fleste troede på i Keplers tid.

Det Geocentriske Verdensbillede

Kepler havde svært ved at stille sig tilfreds med den teori. Derfor undersøgte han en masse resultater som til sidst viste ham at planterne ikke sad på epicykler men havde ellipseformede omløbs baner om solen.
Han fandt ud af, at grunden til man observerede den retrograde bevægelse var at jorden var hurtigere til at tage en runde om solen end de andre planeter. Det vil sige, når jorden ”overhaler” en anden planet, vil man opleve den samme retrograde bevægelse som hvis man troede på det at planterne sad på epicykler.

Man kan sammenligne det med at sidde i et tog og kigge ud af vinduet på et andet tog. Pludselig føler man en bevægelse, fordi det uden for vinduet er i bevægelse, men kort efter ser man i et andet vindue at ingenting bevæger sig. Det tager et øjeblik for hjernen at opfange det er det andet tog, der kører, og det er den bevægelse man ser.

Keplers opdagelse tog tid at få udbredt, men det har haft stor betydning for vores syn på universet i dag. Det har ikke kun ændret vores syn på planeternes baner, men også givet os en grund til at tro på solen er i midten, før det kunne bevises videnskabeligt

I linket herunder er en applet som viser det heliocentriske verdensbillede, som var det verdensbillede Kepler troede på.
Det Heliocentriske Verdensbillede

Her ses sløjebevægelsen som ses på himlen. Forklaringen er som sagt at jorden overhaler en anden planet på runden om solen 

Kepler skaffede os dog ikke af med ideen om et stjernetæppe på det tidspunkt. Få stjerner på himlen var i bevægelse, men de fleste stod stille, og derfor troede folk at de sad stille på en form for tæppe omkring jorden, solen og de få planeter man kendte.
Med moderne teknologi har vi for længst fundet ud af at de andre stjerner også er i bevægelse, men de er for langt væk til at vi kan se bevægelsen med det med det blotte øje. Teknologien manglede Kepler på sin tid. Derfor gik der længe før man afskaffede ideen om stjernetæppet.

Ud fra Keplers observationer udarbejdede han 3 love for planternes baner om solen. Dem handler det om næste gang vi poster et indlæg! Følg med!

Johannes Kepler (27 dec. 1571 – 15 nov. 1630)

Johannes Kepler var en mand med mange egenskaber! Han var både matematiker, astronom, og astrolog, udover det var han også doktor og i flere omgange lærer, Johannes Kepler var også optiker. 

 Johannes Kepler er født i Tyskland, og har studeret der. Han har studeret på det tyske universitet  Tübinger Stift.

Johannes er en nøglefigur i det 17. Århundredes revolution, han har været med til at skabe et nyt verdensbillede, og skabe en langt større forståelse for hvad det egentlig er der sker ude i rummet. Udover at være en betydningsfuld mand for omverden var Kepler også far til 9 børn.

Johannes Kepler er som sagt en kendt figur indenfor naturvidenskaben i det 17 århundrede, og det er han af gode grunde. Johannes Kepler tog i 1600 til Prag for at arbejde sammen med Tycho Brahe. Tycho Brahe havde nogle observationer der omhandlede Mars’ banebevægelse. Brahe satte Kepler til at udforme en ny teori på baggrund af de observationer Tycho Brahe havde foretaget.

Efter Tycho Brahes død i 1601 overtog Kepler  hans plads som kejserlig matematiker, og i 1602 kom han frem til det vi ved i dag, nemlig at Mars’ banebevægelse ikke er rund, men mere ”fladtrykt” også kaldt en ellipse.

Johannes Kepler udformede tre love der blev grundlaget for den newtonske fysik, og som også er grundlaget for meget af den viden vi har om universet i dag.