Faldloven og Eksponentiel regression

Som skrevet før falder en ting hurtigere og hurtigere.
Hvis vi indsætter punkter for et fald i et koordinatsystem, vil vi få nogle punkter som passer på potens regression.
Hvis vi kigger på det her sildeben kan vi se x værdierne som er tiden og y værdien som er faldhøjden:






Punkterne kan vi indsætte i et koordinatsystem og lave potens regression og så får vi denne:

Vi kan se vores formel som som har et tal ophævet i potens.
Vi kan også se vores R2 værdi som er 1, hvilket vil sige punkterne er perfekt for potens regressionen.

Noget andet man kan med de her punkter og regressionen er at indsætte dem i en anden form for koordinatsystem og få en ret linje.  Det er vist i videoen herunder:

Galileo Galileis Faldlov

Galileo Galilei som vi skrev om i forrige indlæg er en meget kendt mand for både hans karriere som astronom men specielt også fordi han har opstillet en faldlov, som stadig ikke er i brug trods den er omkring 400 år gammel. Hans teori om det frie fald skulle modbevise Aristoteles teori om at størst falder hurtigst. På det grundlag gik han i gang med undersøgelser og beregninger som til sidst endte med denne formel:

Her er s faldlængden og t er faldtiden. Det vil sige at hvis en slippes tabes og tiden måles, kan man ud fra denne formel finde ud af faldlængden. g er tyndeaccelerationen som er 9,8 m/s²

Denne formel kan omsættes til en mere letlæselig formel, men nogle værdier som vi har lettere ved at regne med:

Der er sket det at tyndeaccelerationen er blevet ganget med 0,5 og det giver så 4,9. Vi har byttet s ud med y og t ud med x, fordi det er nogle variable vi oftere bruger. De dækker dog stadig over de samme betydninger. 

Galileo Galilei

Hvem er Galileo Galilei?

Galileo Galilei er født i Pisa d. 15. februar 1564 og døde d. 8. januar 1642


Galileo Galilei var en italiensk filosof, fysiker og astronom. Galilei studerede medicin på universitetet i Pisa, og blev senere professor i Matematik. Galileo er manden bag faldloven og han opdagede også månens kratere og Jupiters måner.


I 1610 sad Galileo i sit observationstårn med et hjemmelavet teleskop, hvor han pludselig så tre punkter på himlen i en lige linje, som bevægede sig forkert. Han troede at det var stjerner, men senere fandt han flere af disse prikker og han konkluderede at det var en slags planeter, der kredsede omkring Jupiter – måner. Derfor blev Jupiters fire største og mest kendte måner opkaldt efter ham som ”De galileiske måner”


Galileo Galilei kom med store bidrag til emner som bevægelse(lov om legemers fald). Hans teori om det heliocentriske solsystem skabte en stor konflikt med kirken og i 1633 blev han tvunget til at opgive denne overbevisning og han kom i fængsel i Firenze for det.

Beregning med sinus og cosinus

Vi har lavet en video med brug af Sinus og Cosinus, tre forskellige opgaver, som viser brugen af sinus og cosinus og lidt om noget kaldet størrelses faktoren.

Videoen ses nedenunder:

Opgaveberegning med SIN, COS, TAN – Grøn

På billede ser du enhedscirkelen. (vær opmærksom på at billedet er spejlvendt)
Et tværsnit af jorden er blevet lagt ind i et koordinatsystemet i enhedscirkelen. Jordens centrum ligger i origo. X-aksen svarer til jordens diameter ved ækvator. Y-aksen svarer til afstanden mellem nordpolen og sydpolen. I punktet B ligger Danmark.

Her ser du en skitse af trekanten, med de sidelængder og vinkler som vi kender.

Vinkel B = 56

Vinkel C = 90

Siden b = 5,5

Nu skal vi finde vinkel A i trekanten.

Vi ved at vinkelsummen i alle trekanter = 180 grader

Derfor kan vi nemt regne vinkel A ud, ved at sige 56-90(vinkel B-vinkel C)

Det giver 34. Altså er vinkel A = 34 grader

Vi skal nu finde siden a (altså siden mellem vinkel B og vinkel C)

Vi kan vælge mellem disse 3 formler til at beregne siden:

Formlen som hedder: TAN(V) er den rigtige at bruge fordi vi kender vinkel B(56 grader) og siden b(5,5) 

Vi er nu klar til at finde siden a!Dette tastes ind på lommeregneren:

tan(56)/5,5

Siden a = 10,18

Sinus, Cosinus, Tangens

Trigonometri formler til beregning af sidelængder og vinkler:

De gentagende store bogstaver der står i parentes, det er vinkler, og de små bogstaver der skal deles med hinanden er sidelængder. 

Man kan godt være i tvivl om hvilken formel man skal bruge, men man ved at man har fat i den rigtige formel når man kender to faktorer og har én ubekendt, et eksempel er: Hvis du kigger på formlen 

Du kender vinkel A og sidelængden a men c er ubekendt, så ved du at det er den rigtige formel du har fat i.

a og b er kateter, og c er hypotenusen.

For at vide hvilken katete der er snak om hedder de to forskellige ting. Der er den modstående katete og den hosliggende katete.

Hvis man f.eks. skal finde vinkel A så er a den modstående katete, og b er så den hosliggende fordi b ligger ”hos” vinklen A. Omvendt hvis man skal finde vinkel B så er b den modstående katete, og a er den hosliggende, og den længste linje som i tilfældet her er c er hypotenusen.

De seks overnævnte formler kan kortes ned til tre formler, med de informationer der nu er givet. De kommer her:

Ud fra de oplysninger der blev givet før, kan man nu bruge de ovenstående formler, fordi man ved hvad de forskellige ting gemmer over. På længere sigt er det smartere at bruge disse formler fordi man godt kan møde opgaver hvor dem der har lavet opgaverne ikke har valgt at kalde sidelængderne for; a,b,c men derimod; s,y,å og så bliver man ofte forvirret, men med disse formler er det egentlig lige meget hvilke bogstaver de er blevet pålagt.

Et eksempel:

Her kunne der være en opgave der hed sig at man skulle finde vinkel A så kigger man på de tre formler og vælger i tilfældet her så formlen:

Det er den formel der skal bruges i tilfældet her og det er fordi at vi kender den modstående katete til vinklen som er 4, og den hosliggende katete som er 6, så følger man ellers bare formlen og så har man resultatet på hvad vinkel A er.

Formlerne er meget fleksible, det vil sige at man kan lave om på dem. F.eks. kan man bruge dem til at finde en katete, eller til at finde hypotenusen. 

Enhedscirklen

Vi tager en drejning fra en dygtig astronom til noget matematik!

En ting der er god at have kendskab til indenfor geometriens og trigonometriens verden er Enhedscirklen: 

Enhedscirklens radius er 1, og den har centrum i origo som er  koordinaterne (0,0)

Når man kender til trigonometri kan enhedscirklen bruges til at bekræfte sinus og cosinus’ resultater som lommeregneren giver. Y aksen er sinus dvs. Sin(v) er y koordinatet, og cosinus er så x aksen så cos(v)  er x koordinatet. Det lille v er retningspunktet med andre ord så er det skæringen mellem radius og et punkt i cirklen.

For at finde en vinkel i enhedscirklen skal man se på den vinkel der forekommer mellem x aksen i positiv retning, og radius (mod uret fordi enhedscirklens omløbsretning er mod uret)